Разрыв волновой функции и бесконечная кинетическая энергия

Рассмотрим прямоугольную волновую функцию с центром в начале координат:

$$\psi_7(x)= \begin{cases}N,&-a/2\le x\le a/2,\\0,&\text{иначе},\end{cases} \qquad a>0.$$

На первый взгляд она выглядит допустимой: нормируется, имеет конечную $\Delta x$ и простое преобразование Фурье. Однако разрывы при $x=\pm a/2$ создают проблемы при действии $\hat p=-i\hbar\,\partial/\partial x$ и вычислении моментов импульса.

Используйте соглашения этого же листка:

$$\tilde\psi(k)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\psi(x)\,dx,$$

$$\langle p^n\rangle= \int_{-\infty}^{\infty}|\tilde\psi(k)|^2(\hbar k)^n\,dk,$$

когда соответствующее среднее существует.

(a) Найдите нормировочную постоянную $N$ и неопределённость $\Delta x$. Сравните с качественной оценкой разброса координаты по ширине прямоугольника.

(b) Вычислите $\langle p\rangle$ и $\langle p^2\rangle$ с помощью преобразования Фурье. Убедитесь, что второй момент расходится. Какое поведение $\tilde\psi(k)$ при больших $k$ обеспечивает конечный второй момент?

Дополнительное предложение источника: попробуйте получить ту же расходимость из

$$\int\psi^*(x)(-\hbar^2\partial_x^2)\psi(x)\,dx.$$

При этом нужны осторожные действия с производными дельта-функций.

Смысл задачи — связь разрыва с высокочастотными компонентами. Для свободной частицы конечность $\langle p^2\rangle$ означает конечную среднюю кинетическую энергию и требует непрерывности волновой функции в одном измерении. Одной непрерывности для конечного второго момента недостаточно.