Сглаживание прямоугольного квантового состояния

Дополнительная задача.

Разрывная прямоугольная функция $\psi_7(x)$ равна $N$ при $-a/2\le x\le a/2$ и нулю вне этого интервала. Для неё $\langle p^2\rangle$ расходится, а преобразование Фурье медленно убывает при больших $k$. Исследуйте связь гладкости, конечности второго момента импульса и поведения преобразования Фурье.

Рассмотрим гладкую функцию при $a,b>0$:

$$\begin{gathered} \psi_{7b}(x)=\frac N2\left[ \tanh\!\left(\frac{x+a/2}b\right)\right.\\ \left.{}-\tanh\!\left(\frac{x-a/2}b\right)\right]. \end{gathered}$$

Используется соглашение

$$\tilde\psi(k)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\psi(x)\,dx.$$

(a) Нарисуйте $\psi_{7b}(x)$ для нескольких значений $b$ и убедитесь, что при $b\to0$ она приближается к $\psi_7(x)$. Объясните, почему при $b\ll a$ нормировочная постоянная $N$ почти не зависит от $b$. Найдите $N$ в пределе $b\to0$.

(b) Покажите, что

$$\tilde\psi_{7b}(k)=N\sqrt{\frac\pi2} \frac{b\sin(ka/2)}{\sinh(\pi kb/2)}.$$

(c) Как ведёт себя $|\tilde\psi_{7b}(k)|^2$ при больших $k$? Сравните с $|\tilde\psi_7(k)|^2$. Что это означает для $\langle p^2\rangle$?

(d) При $b\ll a$ можно считать $N$ не зависящим от $b$ и использовать найденное предельное значение. Не вычисляя интегралы, покажите

$$\Delta p\propto\frac1{\sqrt{ab}}.$$

Подсказка: при $b\ll a$ функция $\sin^2(ax/b)$ быстро осциллирует по $x$, и её среднее по многим периодам приблизительно равно $1/2$.