Наблюдаемые, коммутаторы и два базиса измерения

Координата и импульс в квантовой механике представлены линейными операторами, действующими на волновую функцию $\psi(x)$:

$$\hat p\psi(x)=\frac\hbar i\,\partial_x\psi(x),\qquad \hat x\psi(x)=x\psi(x).$$

Представление наблюдаемых операторами позволяет вывести свойства квантовых измерений. Используйте эти определения и свойства линейных операторов. Здесь $[\hat A,\hat B]=\hat A\hat B-\hat B\hat A$, а оператор переноса определён как $\hat T_L f(x)=f(x-L)$.

(a) Докажите

$$[\hat p,\hat x]=\frac\hbar i\,\hat1.$$

(b) Могут ли $\hat x$ и $\hat p$ иметь общие собственные функции? Если да, приведите пример; если нет, объясните почему. Каков физический смысл?

(c) Могут ли $\hat p$ и $\hat T_L$ иметь общие собственные функции? Если да, приведите пример; если нет, объясните почему. Каков физический смысл?

(d) Пусть $\hat A,\hat B$ представляют две наблюдаемые физической системы. Какое условие на их коммутатор необходимо, чтобы система могла одновременно иметь определённые значения $A$ и $B$?

(e) Кратко обсудите связь принципа неопределённости с коммутационными соотношениями операторов наблюдаемых. Обдумайте вопрос подробно; далее в курсе он рассматривается строже.

(f) Пусть $\hat H$ представляет «твёрдость» электрона, а $\hat C$ — его «цвет». Коммутируют ли они? Объясните. Значения этих условно названных свойств и данные измерений приведены ниже.

(g) Пусть $\phi_H,\phi_S$ — собственные функции $\hat H$ с собственными значениями $+1$ («твёрдый») и $-1$ («мягкий»). Пусть $\phi_B,\phi_W$ — собственные функции $\hat C$ со значениями $+1$ («чёрный») и $-1$ («белый»). Белый электрон — суперпозиция твёрдого и мягкого; то же верно для чёрного. Предложите явные выражения $\phi_W,\phi_B$ через $\phi_H,\phi_S$, согласующиеся со всеми приведёнными данными первой лекции.

(h) Почему линейные операторы так важны в квантовой механике? Подробно обдумайте вопрос и ответьте кратко.

Данные первой лекции, необходимые для (f,g).

«Цвет» и «твёрдость» — условные названия двух измеряемых свойств электрона, каждое имеет только два результата. Прибор COLOR разделяет чёрные и белые электроны, HARDNESS — твёрдые и мягкие. На схемах Black — чёрный, White — белый, Hard — твёрдый, Soft — мягкий, In/Out — вход/выход, COMBINE — когерентное сведение двух путей, Magnet — магнит, Screen — экран.

Повторное измерение одного и того же свойства сохраняет результат: например, чёрный пучок после второго COLOR остаётся полностью чёрным. Если у пучка определён цвет, измерение твёрдости даёт по 50 % твёрдых и мягких; если определена твёрдость, измерение цвета даёт по 50 % чёрных и белых.

После отбора одного цвета, измерения твёрдости и отбора одного её результата следующее измерение цвета снова даёт 50/50, а не исходный цвет с вероятностью 1. То же верно при обмене ролями цвета и твёрдости и для любых выбранных знаков. Попытка последовательным отбором одновременно закрепить оба свойства не даёт повторяемого результата для обоих.

В другом приборе два выхода HARDNESS направляются зеркалами к общему выходу без регистрации пути. По отдельности зеркала и устройство сведения сохраняют свойства входящего состояния. В показанной установке нет дополнительного относительного фазового сдвига между плечами.

Если на входе белый пучок, после разделения, сведения и измерения твёрдости получается 50/50. Если на входе твёрдый пучок, после разделения, сведения и измерения цвета также получается 50/50. Если белый пучок разделить, когерентно свести и измерить цвет, все электроны окажутся белыми. Если при этом поглотить одно из двух плеч, интенсивность уменьшится вдвое, а среди прошедших электронов цвета распределятся 50/50. При поглощении обоих плеч выхода нет.

Ниже сохранены все 11 схем этого контекста из первой лекции, в исходном порядке; подписи на схемах относятся к перечисленным приборам и результатам.