Вещественность, чётность и нижняя граница энергии

Дайте физическое доказательство следующих свойств энергетических собственных функций. Рассматривается обычное одномерное уравнение Шрёдингера на вещественной оси с вещественным потенциалом:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\phi_E''(x)+V(x)\phi_E(x)=E\phi_E(x).$$

(a) Энергетические собственные функции $\phi_E(x)$ можно выбирать вещественными, хотя зависящая от времени волновая функция $\psi(x,t)$ в общем случае комплексна.

Это не означает, что любая собственная функция вещественна: комплексную можно представить комплексной линейной комбинацией двух вещественных собственных функций с той же энергией.

Подсказка: если $\phi_E$ имеет энергию $E$, что можно сказать о $\phi_E^*$?

(b) Если $V(x)$ чётен, то есть $V(-x)=V(x)$, энергетические собственные функции можно выбирать чётными или нечётными.

Подсказка: если $\phi_E(x)$ имеет энергию $E$, что можно сказать о $\phi_E(-x)$?

(c) Наименьшая энергия $E_0$, соответствующая нормируемой собственной функции, строго больше минимального значения потенциала:

$$E_0>V_{\min}.$$

Подсказка: перепишите уравнение как

$$\psi''=\frac{2m}{\hbar^2}[V(x)-E]\psi.$$

Что произойдёт при $E<V_{\min}$?