Суперпозиция трёх энергий в бесконечной яме

Проверьте на черновике собственные значения энергии бесконечно глубокой ямы ширины $L$:

$$V(x)=\begin{cases}0,&0\le x\le L,\\ \infty,&\text{иначе},\end{cases}$$

$$E_n=\frac{\hbar^2k_n^2}{2m},\qquad k_n=\frac{(n+1)\pi}L,\qquad n=0,1,2,\ldots.$$

В момент $t=0$ частица находится в состоянии

$$\begin{gathered} \psi_A(x,0)=\sqrt{\frac16}\phi_0(x) +\sqrt{\frac13}\phi_1(x)\\ {}+\sqrt{\frac12}\phi_2(x). \end{gathered}$$

Здесь $\phi_n$ — нормированные энергетические собственные функции. Для дальнейших пунктов нужны только энергии, а не явный вид этих функций; каждый пункт требует сравнительно небольшого вычисления.

(a) Как $\psi_A$ изменяется со временем? Запишите $\psi_A(x,t)$.

(b) Найдите среднюю энергию $\langle\hat E\rangle$ через $E_0$. Зависит ли она от времени?

(c) Какова вероятность при одном измерении энергии в момент $t=0$ получить именно $\langle\hat E\rangle$? А в более поздний момент $t=t_1$?

(d) Какие энергии могут быть получены при одном измерении в момент $t=0$ и с какими вероятностями? Как эти вероятности меняются со временем?

(e) В момент $t=t_1$ измерена энергия $E_2$. Запишите волновую функцию для $t>t_1$. Какие энергии и с какими вероятностями будут измерены при $t_2>t_1$?

(f) Постройте другую нормированную $\psi_B(x,0)$, линейно независимую от $\psi_A(x,0)$, но дающую ту же среднюю энергию, тот же набор результатов измерения и те же вероятности.

(g) Постройте другую нормированную $\psi_C(x,0)$, линейно независимую от $\psi_A(x,0)$ и дающую ту же среднюю энергию, но другой набор возможных результатов измерения. Он может включать некоторые, но не все $E_0,E_1,E_2$, а также другие уровни.