Колебание плотности в суперпозиции двух уровней ямы

Частица массы $m$ находится в суперпозиции первых двух энергетических состояний бесконечно глубокой ямы ширины $L$:

$$\begin{gathered} \psi(x,t)=\frac1{\sqrt L}\sin\!\left(\frac{\pi x}L\right)e^{-i\omega_0t}\\ {}+\frac1{\sqrt L}\sin\!\left(\frac{2\pi x}L\right)e^{-i\omega_1t}, \end{gathered}$$

при $0\le x\le L$; вне ямы функция равна нулю. Здесь $\omega_n=E_n/\hbar$.

(a) Исследуйте систему в симуляции PhET Quantum Bound States. Постройте указанную суперпозицию и проследите её эволюцию. Сделайте снимок экрана и включите его в своё решение. Попробуйте и другие суперпозиции.

(b) Проверьте нормировку $\psi(x,t)$ и её сохранение при любом $t$.

(c) Найдите плотность вероятности $P(x,t)=|\psi(x,t)|^2$. Каков период $T$ этой суперпозиции, то есть время возвращения распределения к исходной конфигурации?

(d) Нарисуйте $P(x,t)$ в момент

$$t_*=\frac{\pi\hbar}{2(E_1-E_0)}.$$

Какую долю $T$ составляет $t_*$?

(e) Какова вероятность найти частицу в левой половине ямы в произвольный момент $t$?

(f) Найдите среднюю координату $\langle x\rangle$ как функцию времени.

(g) Докажите, что $P(L/2,t)$ не зависит от времени.

(h) В центре плотность постоянна, хотя остальная часть распределения колеблется между левой и правой половинами. Кратко объясните, как это возможно. Укажите изменение начальной суперпозиции, которое изменит этот факт.