Средние координата и импульс осциллятора

Частица массы $m$ находится в потенциале гармонического осциллятора

$$V(x)=\frac{m\omega_0^2}2x^2$$

с начальной волновой функцией

$$\psi(x,0)=\frac{\phi_0(x)+i\phi_1(x)}{\sqrt2}.$$

Здесь $\phi_0,\phi_1$ — нормированные энергетические состояния осциллятора с $n=0,1$.

(a) Запишите $\psi(x,t)$ и $|\psi(x,t)|^2$. В этом пункте можно оставить выражения через $\phi_0,\phi_1$.

(b) Найдите $\langle x\rangle$ как функцию времени. Она колеблется: каковы амплитуда колебаний через $m,\omega_0$ и фундаментальные постоянные, а также угловая частота?

(c) Найдите $\langle p\rangle$ как функцию времени.

(d) Докажите, что плотность вероятности возвращается к исходной форме через классический период $T=2\pi/\omega_0$. Докажите это для любого состояния гармонического осциллятора, в том числе нестационарного. Какое свойство осциллятора это обеспечивает?