Нормировка и неопределённости через лестничные операторы

Пусть $\phi_0$ — нормированное основное состояние гармонического осциллятора:

$$\hat a\phi_0=0,\qquad\langle\phi_0|\phi_0\rangle=1.$$

Здесь $\hat a$ — оператор уничтожения, или понижения, а $\hat a^\dagger$ — рождения, или повышения:

$$[\hat a,\hat a^\dagger]=1.$$

Для частиц массы $m$ с частотой осциллятора $\omega_0$ используются определения из того же листка:

$$\hat a=\sqrt{\frac{m\omega_0}{2\hbar}}\hat x +\frac{i\hat p}{\sqrt{2m\hbar\omega_0}},$$

$$\hat a^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega_0}{2\hbar}}\hat x -\frac{i\hat p}{\sqrt{2m\hbar\omega_0}}.$$

(a) Докажите, что норма ненормированного энергетического состояния

$$\tilde\phi_n=(\hat a^\dagger)^n\phi_0$$

равна $\sqrt{n!}$.

(b) Поэтому нормированные состояния имеют вид

$$\phi_n=\frac1{\sqrt{n!}}(\hat a^\dagger)^n\phi_0.$$

Проверьте ортонормированность $\langle\phi_n|\phi_m\rangle=\delta_{nm}$.

(c) Докажите

$$\hat a\phi_n=\sqrt n\,\phi_{n-1},\qquad \hat a^\dagger\phi_n=\sqrt{n+1}\,\phi_{n+1}.$$

(d) Определим оператор числа квантов $\hat N=\hat a^\dagger\hat a$. Докажите

$$[\hat N,\hat a]=-\hat a,\qquad [\hat N,\hat a^\dagger]=\hat a^\dagger.$$

Каковы собственные функции и собственные значения $\hat N$?

(e) Выразите $\hat x,\hat p$ через $\hat a,\hat a^\dagger$ и докажите, что для любого энергетического состояния $\phi_n$ средние $\langle x\rangle,\langle p\rangle$ равны нулю.

(f) Выразите $\hat x^2,\hat p^2$ через $\hat a,\hat a^\dagger$ и докажите, что для $\phi_n$

$$\Delta x\,\Delta p=\frac\hbar2(2n+1).$$