Градиент фазы и ток под барьером

Частица массы $m$ описывается волновой функцией

$$\psi(x)=A(x)e^{i\theta(x)},$$

где $A,\theta$ — вещественные функции. Используйте определение тока вероятности из этого же курса:

$$J=\frac\hbar m\operatorname{Im}(\psi^*\partial_x\psi).$$

(a) Докажите

$$J=|A(x)|^2\frac\hbar m\,\partial_x\theta(x),$$

то есть пропорциональность тока градиенту фазы.

(b) Докажите, что в области, где волновая функция вещественна, тока нет.

(c) Каков ток плоской волны с волновым вектором $k$?

(d) Вычислите ток в области, где

$$\psi(x)=Be^{\alpha x}+Ce^{-\alpha x}.$$

Здесь $\alpha$ — вещественная постоянная, а $B,C$ — комплексные числа, не зависящие от координаты. Можно ли утверждать, что ток под барьером обязательно равен нулю, поскольку $e^{\pm\alpha x}$ вещественны? Найдите условие на $B,C$, при котором ток исчезает.