Квантовое связывание двух дельта-ям

Частица массы $m$ движется в одном измерении в паре притягивающих дельта-ям силы $W_0>0$ при $x=\pm L$:

$$V(x)=-W_0\delta(x+L)-W_0\delta(x-L).$$

Это грубая, но наглядная модель электрона около двух положительных зарядов.

(a) Выведите трансцендентные уравнения для энергий всех связанных состояний. Выразите результат через

$$g_0=\frac{mLW_0}{\hbar^2},\qquad \xi=\kappa L,$$

где отрицательная энергия связанного состояния равна

$$E=-\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}.$$

(b) Решите уравнения графически или численно и найдите все связанные энергии. Сколько связанных состояний существует? Зависит ли их число от $g_0$?

(c) Постройте все связанные собственные функции для $g_0=0.1$, $g_0=1/2$ и $g_0=10$.

(d) Как энергия наиболее сильно связанного состояния зависит от $L$? Приведите график с подписями осей и единицами. Аналитическое решение не требуется; можно воспользоваться численным построением, например в Mathematica.

(e) Пусть частица находится в нижнем связанном состоянии. Предпочитают ли две дельта-ямы находиться близко или далеко друг от друга? Постройте индуцированную силу как функцию $L$. Численное построение также допустимо.

(f) Используя результат, предложите правдоподобное объяснение устойчивости молекулярного иона $\mathrm H_2^+$.

(g) В симуляции PhET Quantum Bound States исследуйте энергии пары одинаковых ям при изменении расстояния между ними и формы самих ям. Как меняется расщепление уровней при удалении ям? Почему второе и третье возбуждённые состояния имеют одинаковое число узлов внутри каждой ямы, а четвёртое — другое?