Сопряжение операторов и ступени квантового осциллятора

Эрмитово-сопряжённый оператор $\hat A^\dagger$ определяется равенством

$$\langle f|\hat A^\dagger g\rangle=\langle\hat Af|g\rangle$$

для всех подходящих функций $f,g$.

(a) Докажите

$$\langle f|\hat A^\dagger g\rangle=\langle g|\hat Af\rangle^*.$$

(b) Докажите $(i\hbar)^\dagger=-i\hbar$.

(c) Докажите $(\hat A\hat B)^\dagger=\hat B^\dagger\hat A^\dagger$.

Оператор называется эрмитовым, если $\hat A^\dagger=\hat A$. Далее считайте $\hat A,\hat B$ эрмитовыми и положите $\hat C=[\hat A,\hat B]$.

(d) Докажите $\hat C^\dagger=-\hat C$. Такой оператор называется антиэрмитовым.

(e) Докажите, что собственные значения $\hat A,\hat B$ вещественны.

(f) Докажите, что собственные значения $\hat C$ чисто мнимые.

(g) Пусть

$$[\hat K,\hat J]=-s\hat J,$$

где $s$ — вещественное число, $\hat K$ — эрмитов оператор.

(i) Является ли $\hat J$ эрмитовым?

(ii) Докажите $[\hat K,\hat J^\dagger]=s\hat J^\dagger$.

(iii) Если $\hat K\varphi_k=k\varphi_k$, докажите, что при $\hat J\varphi_k\ne0$ этот вектор — собственный для $\hat K$ со значением $k-s$.

(iv) Докажите, что при $\hat J^\dagger\varphi_k\ne0$ этот вектор — собственный для $\hat K$ со значением $k+s$.

(v) Какие операторы гармонического осциллятора играют роли $\hat K,\hat J,\hat J^\dagger$?