T-вентиль через вспомогательное состояние на зашифрованном входе

Используем $X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, $Z=\operatorname{diag}(1,-1)$, $Y=iXZ$ и единичную матрицу $I$. Группа Паули состоит из тензорных произведений этих матриц с фазами $\pm1,\pm i$. Унитарный оператор Клиффорда при сопряжении переводит каждый оператор Паули в другой оператор Паули, с точностью до фазы.

Определим

$$H=\frac{X+Z}{\sqrt2},$$

$$T=\operatorname{diag}(1,e^{i\pi/4}),$$

$$P=T^2=\operatorname{diag}(1,i).$$

Управляемое отрицание действует как $\operatorname{CNOT}|a,b\rangle=|a,b\oplus a\rangle$; первый кубит управляющий.

Регистр $A_1$ содержит $X^aZ^b|\psi\rangle$, а $A_2$ — вспомогательное состояние $T|+\rangle$, $|+\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$. Выполните CNOT с управляющим $A_2$ и целевым $A_1$, измерьте $A_1$ в стандартном базисе, получив $c$, и примените $P^c$ к $A_2$.

Докажите, что нормированное состояние $A_2$, с точностью до общей фазы, имеет вид

$$P^aX^{a'}Z^{b'}T|\psi\rangle$$

для некоторых битов $a',b'$, зависящих от $a,b,c$; найдите их. Объясните, почему тот же вывод о канале верен для смешанного входа и для входа, запутанного с внешней системой.