Унитарность переноса и сдвига импульса

Унитарный оператор определяется равенствами $U^\dagger U=1=UU^\dagger$.

(a) Докажите, что его собственные значения — чистые фазы: $\lambda_j=e^{i\phi_j}$.

(b) Может ли оператор быть одновременно эрмитовым и унитарным?

(c) Пусть $M$ эрмитов. Докажите унитарность $e^{iM}$.

(d) Докажите унитарность произведения двух унитарных операторов.

(e) Докажите, что действие унитарного $U$ на состояние $v$ сохраняет норму $v$.

(f) Рассмотрим оператор переноса, сдвигающий среднюю координату на $L$:

$$\hat T_L=e^{-iL\hat p/\hbar},\qquad \hat T_Lf(x)=f(x-L).$$

Аналогично оператор, сдвигающий средний импульс на $q$:

$$\hat B_q=e^{iq\hat x/\hbar},\qquad \hat B_qf(x)=e^{iqx/\hbar}f(x).$$

Проверьте унитарность обоих и докажите

$$\hat T_L^\dagger=\hat T_{-L},\qquad \hat B_q^\dagger=\hat B_{-q}.$$