Унитарный оператор квантовой эволюции

Уравнение Шрёдингера имеет вид

$$i\hbar\partial_t\psi(x,t)=\hat E\psi(x,t).$$

Начальное состояние и оператор энергии определяют последующее состояние интегрированием этого уравнения. В этой задаче оператор энергии эрмитов и не зависит от времени — это допущение явно указано в сноске авторского разбора. Определим

$$\hat U_t\psi(x,0)=\psi(x,t).$$

(a) Дайте физическое объяснение унитарности:

$$\hat U_t^\dagger\hat U_t=1.$$

(b) Дайте физическое объяснение закона композиции:

$$\hat U_{t_2}\hat U_{t_1}=\hat U_{t_1+t_2}.$$

(c) Выведите из уравнения Шрёдингера

$$\partial_t\hat U_t=-\frac i\hbar\hat E\hat U_t.$$

(d) Найдите наиболее общее решение этого уравнения, удовлетворяющее двум свойствам выше.

Замечание источника: $\hat U_t$ называют оператором эволюции, или пропагатором. Формально решение получается экспоненцированием $-it\hat E/\hbar$, но вычисление экспоненты оператора обычно непросто. Тем не менее её свойства могут многое сказать о системе.

(e) Запишите $\hat U_t$ для гармонического осциллятора через оператор числа квантов $\hat N$.