Вероятности и фазы матрицы рассеяния

Локализованный потенциал $V(x)$ равен нулю вне области взаимодействия. Там энергетические собственные функции — плоские волны. На схеме ниже $A,D$ — амплитуды волн, идущих к потенциалу слева и справа; $B,C$ — амплитуды уходящих волн. Они связаны условиями, зависящими от потенциала.

При рассеянии частицы направляют к области взаимодействия издалека и по исходящим волнам судят о её свойствах. При фиксированной энергии определим матрицу рассеяния:

$$\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix} =S(E)\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix},$$

$$S(E)=\begin{pmatrix}r&\tilde t\\t&\tilde r\end{pmatrix}.$$

Все элементы зависят от $E$, даже если аргумент далее не записан.

(a) Дайте физическую интерпретацию $|r|^2,|t|^2,|\tilde r|^2,|\tilde t|^2$ через наблюдаемые величины. Предложите опыт для измерения $|t|^2$ и другой — для фазы $t$.

(b) Почему физически $S$ должна быть унитарной?

(c) Выведите из унитарности

$$|r|^2+|t|^2=1,\qquad |\tilde t|^2+|\tilde r|^2=1,$$

$$r^*\tilde t+t^*\tilde r=0.$$

Почему столбцы $S$ физически должны быть ортогональными единичными векторами?

(d) Докажите, что пространственная симметрия $V(-x)=V(x)$ означает $t=\tilde t$ и $r=\tilde r$.

(e) Определим фазу рассеяния соглашением $t=|t|e^{-i\phi}$. Докажите для симметричного потенциала

$$r=\pm i|r|e^{-i\phi}.$$

(f) Объясните физический смысл $\phi$, используя предложенные в (a) опыты.

Замечание источника: в литературе соглашения о фазе отличаются знаками и добавлением постоянных вроде $\pi$. Наблюдаемые результаты не зависят от этого выбора; здесь используйте именно данное определение.