Рассеяние и связанные состояния одной и двух дельта-ям

Частицы массы $m$ рассеиваются на притягивающей дельта-яме в начале координат:

$$V(x)=-V_0\delta(x),\qquad V_0>0.$$

Используйте соглашение о матрице рассеяния: входящие амплитуды $A,D$ слева и справа, исходящие $B,C$:

$$\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix} =S\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}.$$

Фаза определяется как $t=|t|e^{-i\phi}$.

(a) Пучок с типичной энергией $E$ падает слева. Найдите отражённую долю $R$ через $E,m,V_0$ и необходимые постоянные. Проверьте разумность результата при $V_0\to0$ с фиксированной $E$ и при $E\to0$ с фиксированной $V_0$.

(b) Найдите матрицу $S$ и проверьте её унитарность.

(c) Найдите фазу рассеяния $\phi$ и нарисуйте её как функцию $E$.

(d) У $S$ есть полюс при мнимом $k$, соответствующий отрицательной энергии. Докажите, что это энергия единственного связанного состояния ямы.

(e) Объясните эвристически, почему матрица рассеяния должна расходиться при энергиях связанных состояний.

Теперь рассмотрите две дельта-ямы:

$$V(x)=-V_0\delta(x+L)-V_0\delta(x-L),\qquad V_0>0.$$

В источнике для этой части повторены буквы (d,e).

(d) Найдите матрицу $S$ двух ям и проверьте унитарность. Подсказка: условия сшивания выведите вручную; полученную линейную систему можно решить в Mathematica или другой программе символьной алгебры.

(e) Снова найдите связанные состояния по полюсам $S$.