Антиунитарные преобразования квантовых состояний

Симметричное преобразование $T$ сохраняет вероятности наблюдаемых результатов, поэтому его представление на квантовых состояниях удовлетворяет

$$|\langle\hat T\phi|\hat T\psi\rangle|^2 =|\langle\phi|\psi\rangle|^2.$$

Унитарные операторы удовлетворяют этому условию. Антиунитарный оператор $\hat A$ является сопряжённо-линейным и удовлетворяет

$$\langle\hat A\phi|\hat A\psi\rangle=\langle\psi|\phi\rangle,$$

поэтому также сохраняет вероятности. Его квадрат унитарен. Пример — обращение времени; для бесспинового примера, рассматриваемого в источнике, $\hat T^2=1$.

Приведите другие примеры антиунитарных операторов. Какие преобразования они реализуют?

Замечание источника: утверждение о представлении квантовых симметрий унитарными или антиунитарными операторами называется теоремой Вигнера.