Вырождение изотропного и анизотропного осциллятора

Пусть у системы есть симметрия, например вращательная: её энергия не меняется при таком преобразовании. Подобные симметрии обычно связаны с вырождением: несколько независимых собственных состояний энергии имеют одно собственное значение. Кратность вырождения энергии — число независимых состояний с этой энергией.

(a) Свободная частица движется в одном измерении и имеет определённую энергию $E=\hbar^2k^2/(2m)$.

i. Сколько линейно независимых состояний имеют эту энергию?

ii. Какая симметрия обеспечивает это вырождение?

(b) Рассмотрите двумерный гармонический осциллятор с частотами $\omega_x=\omega_y=\omega$.

i. Найдите собственные значения энергии.

ii. Какова кратность вырождения $n$-го уровня?

iii. Какая симметрия обеспечивает это вырождение?

(c) Немного изменим систему: $\omega_x=(1+\epsilon)\omega$, где $\epsilon\ll1$.

i. Найдите новые собственные значения энергии.

ii. Вырожден ли теперь спектр?

iii. Постройте первые шесть собственных энергий как функции $\epsilon$ при $-0.1\leq\epsilon\leq0.1$.

iv. Как связаны нарушение симметрии и расщепление вырожденных уровней?