Коммутаторы и лестничные операторы момента импульса
В классической механике момент импульса $\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p$ сохраняется в системе с вращательной симметрией. В квантовой механике его компоненты задаются операторами:
$$\hat L_x=\hat y\hat p_z-\hat z\hat p_y,$$
$$\hat L_y=\hat z\hat p_x-\hat x\hat p_z,$$
$$\hat L_z=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x.$$
(a) Пользуясь $[\hat x_a,\hat p_b]=i\hbar\delta_{ab}$, докажите:
$$[\hat L_y,\hat L_z]=i\hbar\hat L_x,$$
$$[\hat L_z,\hat L_x]=i\hbar\hat L_y,$$
$$[\hat L_x,\hat L_y]=i\hbar\hat L_z.$$
(b) Для $\hat L^2=\hat L_x^2+\hat L_y^2+\hat L_z^2$ докажите $[\hat L_z,\hat L^2]=0$. Без дополнительных вычислений объясните, почему $[\hat L_x,\hat L^2]$ и $[\hat L_y,\hat L^2]$ также равны нулю.
(c) Введите лестничные операторы $\hat L_-=\hat L_x-i\hat L_y$ и $\hat L_+=\hat L_x+i\hat L_y$. Докажите:
$$[\hat L_z,\hat L_\pm]=\pm\hbar\hat L_\pm,$$
$$[\hat L^2,\hat L_\pm]=0.$$
Какие свойства собственных значений $\hat L^2$ и $\hat L_z$ следуют из этих коммутаторов?
Пояснения источника. Соотношение неопределённостей имеет вид $\Delta A\Delta B\geq|\langle[A,B]\rangle|/2$. Одновременно определённые $A,B$ требуют нулевого среднего коммутатора в данном состоянии; некоммутирование вообще не означает отсутствия любого общего собственного вектора. Коммутирование $L^2,L_z$ позволяет выбирать общий собственный базис. В сферических координатах
$$\begin{gathered}\hat L^2=-\hbar^2\Bigl[\\\frac1{\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta)\\+\frac1{\sin^2\theta}\partial_\phi^2\Bigr]\end{gathered}.$$
Этот угловой оператор входит в гамильтониан центрального поля:
$$\hat p^2=-\frac{\hbar^2}{r}\partial_r^2 r+\frac{\hat L^2}{r^2}.$$
Поэтому в центральном поле собственные состояния энергии можно выбирать одновременно собственными для $L^2$. Источник также отсылает к главе 9 Шанкара.