Сферические гармоники и состояние Y42,−41

Используйте координатное представление орбитального момента импульса в сферических координатах для изучения его собственных функций $Y_{lm}(\theta,\phi)$:

$$\begin{gathered}\hat L^2=-\hbar^2\Bigl[\\\frac1{\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta)\\+\frac1{\sin^2\theta}\partial_\phi^2\Bigr]\end{gathered},$$

$$\hat L_z=-i\hbar\partial_\phi.$$

Первые сферические гармоники имеют вид

$$\begin{gathered}Y_{00}=\sqrt{\frac1{4\pi}},\\Y_{10}=\sqrt{\frac3{4\pi}}\cos\theta\end{gathered},$$

$$Y_{1,\pm1}=\mp\sqrt{\frac3{8\pi}}\sin\theta e^{\pm i\phi}.$$

(a) Докажите, что эти функции правильно нормированы и попарно ортогональны.

(b) Докажите, что они являются собственными функциями обоих операторов $\hat L^2$ и $\hat L_z$. Найдите соответствующие собственные значения.

(c) Постройте $Y_{42,-41}$.