Чистый и тепловой спин в разных направлениях

В обычном $z$-базисе выпишите матрицу плотности спина $1/2$ с гиромагнитным отношением $\gamma$:

(i) в чистом состоянии, точно направленном вдоль $+z$;

(ii) в чистом состоянии, точно направленном вдоль $+x$;

(iii) в тепловом равновесии при температуре $T$ в магнитном поле вдоль $z$;

(iv) в тепловом равновесии при температуре $T$ в магнитном поле вдоль $x$.