Квантовый шум медленной амплитуды осциллятора

Гармонический осциллятор массы $m$ и частоты $\omega_0$ слабо связан с омическим окружением в тепловом равновесии при температуре $T$.

(i) В приближении вращающейся волны выпишите сокращённые уравнения движения гейзенберговских операторов комплексной амплитуды колебаний.

(ii) Найдите средние корреляторов операторов случайной силы в этих уравнениях и выразите их через равновесное среднее число возбуждений
$$n_e=\frac1{e^{\hbar\omega_0/(k_BT)}-1}.$$
Омическое трение имеет коэффициент $\eta$; удобно обозначить скорость затухания амплитуды через $\delta=\eta/(2m)\ll\omega_0$.