Исходное неравенство Белла для синглетной пары

Источник испускает пары невзаимодействующих частиц со спином $1/2$, летящих в противоположные стороны. Полный спин пары равен нулю. На каждой стороне измеряют проекцию спина прибором Штерна—Герлаха; результат в единицах $\hbar/2$ равен $+1$ или $-1$.

В локальной модели со скрытым параметром $\lambda$ результаты заданы функциями $A(\mathbf n,\lambda)$ и $B(\mathbf n,\lambda)$: каждый зависит только от направления своего прибора и общего параметра пары. Параметр может случайно меняться от опыта к опыту, но его распределение не зависит от выбранных направлений измерения. Модель должна воспроизводить точную антикорреляцию результатов при одинаковых направлениях приборов.

Приборы можно направлять вдоль трёх лежащих в одной плоскости единичных векторов $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$, показанных на рисунке: направление $\mathbf c$ делит угол между $\mathbf a$ и $\mathbf b$ пополам, а каждый из двух углов равен $\varphi$.

Выведите исходное неравенство Белла для корреляций результатов таких измерений. Сравните его с квантовомеханическим предсказанием для синглетного состояния

$$|\Psi^-\rangle=\frac{|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle}{\sqrt2}.$$

Для квантового расчёта измеряемая величина в выбранных единицах задаётся оператором $\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf n$, где $\boldsymbol\sigma$ — вектор матриц Паули.