Суперпозиция кулоновских состояний

Пусть $\phi_{nlm}(\mathbf r)$ — правильно нормированные собственные функции энергии в кулоновском потенциале; $n$ — главное квантовое число, $l,m$ — квантовые числа момента импульса. Электрон находится в состоянии

$$\begin{gathered}\psi(\mathbf r)=C\Bigl(\phi_{100}(\mathbf r)\\+4i\phi_{210}(\mathbf r)\\-2\sqrt2\phi_{21,-1}(\mathbf r)\Bigr)\end{gathered}.$$

(a) Найдите нормировочную постоянную $C$.

(b) Найдите среднее значение оператора энергии $\hat E$.

(c) Найдите $\langle\hat L^2\rangle$.

(d) Найдите $\langle\hat L_z\rangle$.

(e) Запишите волновую функцию в более поздний момент $t$.

Подсказка: не используйте явный функциональный вид этих состояний. Достаточно ортонормированности

$$\langle\phi_{nlm}|\phi_{n'l'm'}\rangle=\delta_{nn'}\delta_{ll'}\delta_{mm'},$$

и действия операторов на собственные состояния энергии.