Радиус слабо связанного электрона

Электрон связан кулоновским потенциалом и находится в состоянии с максимально возможным орбитальным моментом импульса: $l=n-1$.

Обозначения из разбора источника: $V(r)=-e^2/r$, где $e^2$ включает кулоновскую постоянную; $r_0=\hbar^2/(m_e e^2)$ — боровский радиус. Нормированная радиальная плотность в этом случае пропорциональна $r^{2n}e^{-2r/(nr_0)}$.

(a) Докажите:

$$\langle r\rangle=r_0 n(n+1/2),$$

$$\langle r^2\rangle=r_0^2 n^2(n+1)(n+1/2).$$

(b) Докажите, что при больших $n,l$:

$$\sqrt{\langle r^2\rangle}\longrightarrow r_0n^2,$$

$$\frac{\Delta r}{\langle r\rangle}\longrightarrow0,$$

$$E_n\longrightarrow-\frac{e^2}{2n^2r_0}.$$

Иными словами, электрон хорошо локализован по радиусу вблизи сферической поверхности радиуса $n^2r_0$ и имеет ту же энергию, что классический электрон на круговой орбите такого радиуса.

(c) Что можно сказать о размере слабо связанного состояния водорода? Это особенность водорода или общее свойство слабо связанных состояний? Обсудите.