Образование энергетических зон в цепочке ям

Исследуйте симуляцию PhET Band Structure. Её численные значения соответствуют массе электрона $m_ec^2=0.511\,\text{МэВ}$. Можно работать группой.

(a) Установите одну прямоугольную яму высотой $18.2\,\text{эВ}$ и шириной $0.4\,\text{нм}$. Проверьте, что существуют три связанных собственных состояния энергии, а их энергии дискретны и невырождены. Запишите значения и нарисуйте каждую собственную функцию.

(b) Сохраняя форму ямы, установите $N=2$ ямы. Начните с максимально допустимого расстояния между ними $0.2\,\text{нм}$.

i. Проверьте, что дискретные невырожденные уровни собираются в группы, или «зоны». Сколько состояний в каждой зоне? Как её средняя энергия соотносится с энергиями одиночной ямы?

ii. Для верхнего и нижнего состояния каждой зоны сосчитайте нули внутри ям и между ямами. Как эти состояния связаны с волновыми функциями одиночной ямы? А остальные состояния той же зоны?

iii. Как меняется ширина зоны по энергии при переходе от одной зоны к другой?

iv. Уменьшайте расстояние между ямами при неизменных ширине и высоте. Как меняются ширины зон и их средние энергии?

v. При минимальном расстоянии одно состояние в каждой зоне выглядит почти периодическим с одним преобладающим периодом. Какое это состояние? Оцените его длину волны $\lambda$, найдите энергию свободного электрона с такой длиной волны и сравните с энергией наблюдаемого почти периодического состояния.

(c) При той же форме ям повторяйте анализ для $N=3,4,\ldots$ на черновике, пока не сможете предсказать случай $N=10$. Сформулируйте прогнозы.

(d) Сохраняя форму ям, установите $N=10$. Повторите все шаги анализа. Насколько подтвердились прогнозы?

(e) Для $N=10$ при минимальном допустимом расстоянии постройте $E_n$ как функцию $n$, отметив энергии свободной частицы из(b.v). Выделите интересные особенности. Предскажите и нарисуйте график при расстоянии, стремящемся к бесконечности, а затем при расстоянии, стремящемся к нулю.

(f) При той же форме ям и минимальном расстоянии рассмотрите $N\gg1$. Предскажите и нарисуйте $E_n$ как функцию $n$, сжав горизонтальную ось так, чтобы на графике поместились все связанные состояния.