Обменная симметрия и корреляции

Даны две переменные $x_1,x_2$. Если знание одной позволяет предсказывать другую, говорят об их корреляции. Её естественная мера — среднее произведение отклонений от средних:

$$\left\langle(x_1-\langle x_1\rangle)(x_2-\langle x_2\rangle)\right\rangle.$$

Исследуем связь корреляций с симметрией. Две частицы находятся в потенциале гармонического осциллятора: одна в основном состоянии $\phi_0$, другая в первом возбуждённом $\phi_1$. Рассмотрите волновые функции различимых частиц, бозонов и фермионов:

$$\psi_D(x_1,x_2)=\phi_0(x_1)\phi_1(x_2),$$

$$\begin{gathered}\psi_{S/A}(x_1,x_2)=\frac1{\sqrt2}\Bigl[\phi_0(x_1)\phi_1(x_2)\\\pm\phi_0(x_2)\phi_1(x_1)\Bigr],\end{gathered}$$

где верхний знак соответствует симметричному состоянию $S$, нижний — антисимметричному $A$, и

$$\phi_0(x)=\frac{e^{-x^2/(2\rho^2)}}{\sqrt{\rho\sqrt\pi}},\qquad \phi_1(x)=\sqrt2\frac x\rho\phi_0(x),$$

а $\rho$ — положительный масштаб длины осциллятора.

(a) Проверьте, что $\langle x_1\rangle=\langle x_2\rangle=0$ во всех трёх случаях.

(b) Вычислите средний квадрат расстояния и проверьте:

$$\begin{gathered}\langle(x_1-x_2)^2\rangle_S=\rho^2,\\\langle(x_1-x_2)^2\rangle_D=2\rho^2,\\\langle(x_1-x_2)^2\rangle_A=3\rho^2.\end{gathered}$$

Дайте физическое объяснение. Действуют ли на частицы в этих состояниях разные силы? Если да, почему; если нет, что создаёт впечатление притяжения или отталкивания?

(c) Постройте плотности вероятности всех трёх состояний как функции $x_1,x_2$. Подтверждают ли они ваш вывод? Что видно на срезе $x_1=x_2$?

(d) В бесконечную прямоугольную яму шириной $L$ помещают $N$ одинаковых бозонов массы $\mu$ и охлаждают до нижнего допустимого собственного состояния энергии. Запишите его волновую функцию $\Psi(x_1,\ldots,x_N)$ через одночастичные состояния $\varphi_n(x)$, найдите энергию и минимальную энергию возбуждения до следующего допустимого собственного состояния.

(e) Повторите(d) для $N$ одинаковых фермионов. Правильно нормируйте волновую функцию.

Уточнение используемой модели: как в авторском разборе(d), взаимодействие частиц отсутствует. Спиновые переменные в исходных пространственных формулах не заданы; здесь они не учитываются, что для фермионов соответствует одинаковому фиксированному внутреннему спиновому состоянию всех частиц. Без этого уточнения заполнение уровней в(e) зависит от спинового вырождения.