Групповая скорость и эффективная масса

Рассмотрите решётку одинаковых дельта-функциональных барьеров. Для самостоятельной постановки приведены использованные в наборе обозначения:

$$V(x)=\frac{\hbar^2g_0}{2mL}\sum_{n\in\mathbb Z}\delta(x-nL),\qquad g_0>0,$$

$$\begin{gathered}E=\frac{\hbar^2k^2}{2m},\\\cos(qL)=\cos(kL)+\frac{g_0}{2kL}\sin(kL),\\v_g=\frac1\hbar\frac{dE}{dq},\qquad \frac1{m^*}=\frac1{\hbar^2}\frac{d^2E}{dq^2}.\end{gathered}$$

(a) Нарисуйте $v_g(qL)$ и $m^*(qL)$ при $|qL|<\pi$ для первых двух зон. Что происходит со скоростью и эффективной массой вблизи вершины каждой зоны? А в середине зоны?

(b) Электрон первоначально находится на дне иначе пустой зоны. На него действует однородное внешнее электрическое поле $\mathcal E$. Докажите, что квазиимпульс линейно меняется со временем. Качественно опишите изменение энергии $E(q)$ и скорости $v_g(q)$ со временем. Как это согласуется с сохранением импульса и с тем, что металлы — твёрдые тела с частично заполненными зонами — проводят ток под действием поля?