Рассеяние и запрещённые зоны

Запрещённые зоны связаны с интерференцией волн, рассеянных разными ячейками решётки. Выведите зонный спектр одномерной периодической системы по данным рассеяния на одном симметричном барьере.

Пусть вещественный потенциал $V(x)=V(-x)$ равен нулю вне области $[-L/2,L/2]$. Частицы массы $m$ с энергией $E=\hbar^2k^2/(2m)$ падают слева. Вне барьера:

$$\phi_\to(x)=\begin{cases}e^{ikx}+re^{-ikx},&x\le-L/2,\\te^{ikx},&x\ge L/2.\end{cases}$$

Амплитуды прохождения и отражения записаны как $t=\sqrt T e^{-i\varphi}$ и $r=\pm i\sqrt R e^{-i\varphi}$; $T,R$ — соответствующие вероятности, $T+R=1$, $\varphi$ — фаза рассеяния. При падении справа:

$$\phi_\leftarrow(x)=\begin{cases}te^{-ikx},&x\le-L/2,\\e^{-ikx}+re^{ikx},&x\ge L/2.\end{cases}$$

Из симметрии получаются те же $t,r$. Общая собственная функция энергии имеет вид $\phi_E=A\phi_\to+B\phi_\leftarrow$.

Теперь повторим ячейку с периодом $L$. По теореме Блоха:

$$\begin{gathered}\phi_E(x+L)=e^{iqL}\phi_E(x),\\\phi'_E(x+L)=e^{iqL}\phi'_E(x).\end{gathered}$$

Применяя эти условия при $x=\pm L/2$, получаем следующую связь $q$ и $E$; вывести её полезно, но не требуется:

$$\begin{gathered}\cos(qL)=\frac{t^2-r^2}{2t}e^{ikL}\\+\frac1{2t}e^{-ikL}.\end{gathered}$$

(a) Докажите, что выбранное определение фазы даёт

$$\cos(qL)=\frac{\cos(kL-\varphi)}{\sqrt T}.$$

Таким образом, вероятность прохождения вместе с фазой определяет весь зонный спектр, а не только вероятность туннелирования через один барьер.

(b) Объясните, почему для общего потенциала около $kL-\varphi=n\pi$, где $n$ — целое, нет решений. Это запрещённые зоны. Какова роль фазы рассеяния?

(c) При очень слабых барьерах какими становятся $T,R,\varphi$? Докажите, что запрещённые зоны узки, а их ширина около $kL-\varphi=n\pi$ приближённо подчиняется $\Delta E_{\rm gap}\propto\sqrt R$. Нарисуйте $E(q)$.

(d) Повторите рассуждение для очень сильных барьеров. Какими становятся $T,R,\varphi$? Докажите, что разрешённые зоны узки и $\Delta E_{\rm band}\propto\sqrt T$. Где находятся центры зон? Нарисуйте $E(q)$.

(e) Для решётки дельта-барьеров используйте результат рассеяния на одной дельта-функции и докажите:

$$\cot\varphi=\frac{2kL}{g_0},\qquad T=\cos^2\varphi,\qquad g_0>0.$$

Вернитесь с помощью(a) к дисперсионному соотношению

$$\cos(qL)=\cos(kL)+\frac{g_0}{2kL}\sin(kL).$$

Постройте точные графики $E(q)$ при $g_0\ll1$ и $g_0\gg1$ и проверьте результаты(b–d).

(f) Для притягивающих дельта-функций $g_0<0$ вновь постройте $E(q)$ при малом и большом $|g_0|$. Что стало с единственным связанным состоянием изолированной притягивающей дельта-функции?

Контекст вместо отсылки к прежнему набору: $V_\delta(x)=\hbar^2g_0\delta(x)/(2mL)$, а непрерывная волновая функция удовлетворяет скачку производной $\phi'(0^+)-\phi'(0^-)=g_0\phi(0)/L$. Для падения слева $t=[1+ig_0/(2kL)]^{-1}$.

Подсказка из сноски источника при ветви $\operatorname{arccot}b\in(0,\pi)$:

$$\begin{gathered}\cos(\operatorname{arccot}b)=\frac b{\sqrt{1+b^2}},\\\sin(\operatorname{arccot}b)=\frac1{\sqrt{1+b^2}},\\\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.\end{gathered}$$