Стоячие волны на краях зон

Необязательная задача источника. При исчезновении периодических барьеров верх одной зоны и низ следующей становятся вырожденными: разрыв между ними закрывается. Значит, периодический потенциал расщепляет два вырожденных состояния свободной частицы. Исследуйте это по волновым функциям на краях зон.

$$V(x)=\frac{\hbar^2g_0}{2mL}\sum_{n\in\mathbb Z}\delta(x-nL),\qquad g_0>0.$$

Рассматриваются края зон с $qL=N\pi$, где $q$ — волновое число Блоха, $N$ — целое. Для самостоятельной постановки дано использованное на лекции соотношение

$$\cos(qL)=\cos(kL)+\frac{g_0}{2kL}\sin(kL),\qquad E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}.$$

(a) Почему края разрешённых зон соответствуют $qL=N\pi$?

(b) Начните с качественной формы функций на краю зоны. При выключенном потенциале два вырожденных свободных состояния — $\sin(qx)$ и $\cos(qx)$ — имеют период $2L/N$ для $N\ge1$. Постепенно включите потенциал. Что дельта-функции делают с этими состояниями? Нарисуйте их качественно. Какое становится верхом зоны, а какое — низом? Что можно сказать о состоянии с большей энергией при $g_0\to\infty$?

(c) Запишите граничные условия для $\phi_E$ и её производной в точке $x=0$. Какое условие периодичности должна удовлетворять $\phi_E$?

(d) При $0<x<L$ потенциал постоянен, поэтому $\phi_E(x)=A\sin(kx+\theta)$, где $E=\hbar^2k^2/(2m)$, а $\theta$ — фаза. Выразите граничные условия через $k,\theta$.

(e) Докажите, что одна семья решений имеет вид стоячих волн с $kL=N\pi$, $\theta=0$. Находятся эти состояния вверху или внизу своих зон?

(f) Докажите, что другая семья удовлетворяет

$$\tan\frac{kL}2=-\frac{2kL}{g_0}\quad\text{при }qL=(2M+1)\pi,$$

$$\cot\frac{kL}2=\frac{2kL}{g_0}\quad\text{при }qL=2M\pi.$$

Находятся эти состояния вверху или внизу своих зон?

(g) Что происходит с состояниями на краях зон и шириной разрывов при усилении барьеров $g_0\to\infty$? Объясните результат.

(h) Что происходит с состояниями на краях зон и шириной разрывов при ослаблении барьеров $g_0\to0$? Объясните результат.