Релаксация энергии осциллятора

Для гармонического осциллятора со слабым омическим затуханием найдите эволюцию средней энергии $\langle E\rangle$ при произвольном начальном состоянии, используя уравнение (7.220) лекций, и сравните с подходом Гейзенберга — Ланжевена.

Для диагональных элементов $P_n=\rho_{nn}$ это уравнение имеет вид
$$\begin{aligned} \dot P_n=2\delta\big\{&(n+1)(n_e+1)P_{n+1}+nn_eP_{n-1}\\ &-[n(n_e+1)+(n+1)n_e]P_n\big\}, \end{aligned}$$
где $n=0,1,\ldots$, $P_{-1}=0$, $n_e=[e^{\hbar\omega_0/(k_BT)}-1]^{-1}$, $T$ — температура окружения, $\delta=\eta/(2m)\ll\omega_0$, а сила вязкого сопротивления равна $-\eta\dot x$.

В подходе Гейзенберга — Ланжевена используется
$$m\ddot{\hat x}+\eta\dot{\hat x}+m\omega_0^2\hat x=\hat F(t),$$
с равновесным квантовым шумом силы. Полная энергия осциллятора равна $E=\hbar\omega_0(n+1/2)$.