Двойной коммутатор в импульсном представлении

Выведите соотношение (7.234) лекций другим способом: используя выражение, двойственное координатной формуле
$$\int\langle x|\hat p|x'\rangle\psi(x')dx'=-i\hbar\frac{d\psi(x)}{dx}.$$
Требуется показать для импульсной плотности вероятности $f(p)=\langle p|\rho|p\rangle$, что
$$\langle p|[\hat x,[\hat x,\rho]]|p\rangle=-\hbar^2\frac{d^2f(p)}{dp^2}.$$
Здесь $\rho$ — оператор плотности, $[A,B]=AB-BA$, а $\langle p|p'\rangle=\delta_{\rm D}(p-p')$. Можно считать ядро $\rho(p,p')$ гладким и убывающим настолько, чтобы граничные члены при интегрировании по частям исчезали.