Корреляции двух спинов

Вычислите средние значения наблюдаемых
$$\mathbf s_1\cdot\mathbf s_2,\qquad S^2=(\mathbf s_1+\mathbf s_2)^2,\qquad S_z=s_{1z}+s_{2z}$$
для синглетного и триплетных состояний двух спинов $1/2$ непосредственно, без использования общей формулы сложения моментов $S^2=\hbar^2S(S+1)$. Сравните результат с двумя классическими геометрическими векторами длины $\hbar/2$ каждый.

Состояния заданы как
$$|t_+\rangle=|\uparrow\uparrow\rangle,\qquad |t_-\rangle=|\downarrow\downarrow\rangle,$$
$$|t_0\rangle=\frac{|\uparrow\downarrow\rangle+|\downarrow\uparrow\rangle}{\sqrt2},$$
$$|s\rangle=\frac{|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle}{\sqrt2}.$$
Для каждого спина $s_i=(\hbar/2)\sigma_i$, где $\sigma_i$ — матрицы Паули; стрелки обозначают собственные состояния $s_z$ с проекциями $\pm\hbar/2$.