Когерентное состояние осциллятора

Рассмотрите собственное состояние оператора понижения

$$\hat a\varphi_\alpha=\alpha\varphi_\alpha,$$

где $\alpha$ — комплексное число. Оно называется когерентным состоянием. Такие состояния служат квантовым аналогом классических колебаний с заданными амплитудой и фазой; они применяются, например, при описании лазерного света, радиочастотных резонаторов и конденсатов Бозе — Эйнштейна. Исследуйте их основные свойства.

(a) Докажите:

$$\hat a(\hat a^\dagger)^n\phi_0=n(\hat a^\dagger)^{n-1}\phi_0,\qquad n\ge1.$$

(b) Докажите, что

$$\varphi_\alpha=C e^{\alpha\hat a^\dagger}\phi_0,$$

где $C$ — нормировочная постоянная, а экспонента оператора определяется рядом Тейлора.

(c) Найдите $C$.

(d) Разложите когерентное состояние по нормированным собственным состояниям энергии $\phi_n$ и найдите вероятность обнаружить его в состоянии с номером $n$.

(e) Найдите среднее число возбуждений $\langle\hat N\rangle$. Как средняя энергия зависит от $\alpha$?

(f) Какие собственные состояния энергии осциллятора являются когерентными? Каким значениям $\alpha$ они соответствуют?

(g) Найдите $\Delta x,\Delta p$ и проверьте, что когерентное состояние имеет минимальное произведение неопределённостей. Это один из смыслов его близости к классическому состоянию; следующая задача рассматривает другой.

Подсказка из сноски к(c): если $[X,Y]$ коммутирует с обоими операторами, формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа даёт $e^Xe^Y=e^Ye^Xe^{[X,Y]}$.

Обозначения осциллятора вместо отсылок к другим страницам: $\beta=\sqrt{\hbar/(m\omega_0)}$ — масштаб длины, $\hat p=-i\hbar\partial_x$, а операторы понижения и повышения заданы как

$$\hat a=\frac1{\sqrt2}\left(\frac{\hat x}\beta+\frac{i\beta\hat p}\hbar\right),\qquad [\hat a,\hat a^\dagger]=1.$$

Оператор числа возбуждений и гамильтониан:

$$\hat N=\hat a^\dagger\hat a,\qquad \hat H=\hbar\omega_0(\hat N+1/2).$$

Нормированное основное состояние удовлетворяет $\hat a\phi_0=0$, а ортонормированные состояния энергии имеют вид

$$\phi_n=\frac{(\hat a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}\phi_0,\qquad E_n=\hbar\omega_0(n+1/2),\quad n=0,1,\ldots.$$