Сдвиг, эволюция и сжатие когерентного состояния

Когерентное состояние осциллятора массы $m$ и частоты $\omega_0$ удовлетворяет $\hat a\varphi_\alpha=\alpha\varphi_\alpha$. Исследуйте его с помощью операторов повышения и понижения, $\hat N=\hat a^\dagger\hat a$, $\hat H=\hbar\omega_0(\hat N+1/2)$, унитарных операторов сдвига координаты $T_L$, сдвига импульса $B_q$ и эволюции $U_t$.

В этой задаче не нужен явный вид волновых функций: достаточно операторов и их коммутаторов.

(a) При комплексном $\gamma$ проверьте:

$$[\hat a,T_L]=\frac{L}{\sqrt2\beta}T_L,\qquad [\hat a,B_q]=\frac{iq\beta}{\sqrt2\hbar}B_q,$$

$$\hat a e^{\gamma\hat N}=e^\gamma e^{\gamma\hat N}\hat a,$$

$$\hat a^\dagger e^{\gamma\hat N}=e^{-\gamma}e^{\gamma\hat N}\hat a^\dagger.$$

Что физически означают первые два коммутатора для множества когерентных состояний?

(b) Пусть $\phi_{x_0p_0}=B_{p_0}T_{x_0}\varphi_0$, где $\varphi_0$ — основное состояние, $\hat a\varphi_0=0$. Найдите $\langle x\rangle,\langle p\rangle$. Чем распределение вероятности отличается от основного состояния? Как экспериментально получить это состояние, начав с основного?

(c) Докажите, что $\phi_{x_0p_0}$ — когерентное состояние $\varphi_{\alpha_0}$, и найдите $\alpha_0$. Дайте физическое толкование комплексного собственного значения $\alpha$ в общем случае.

Альтернатива из сноски: по формуле Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа непосредственно докажите $\phi_{x_0p_0}=Ce^{\alpha_0\hat a^\dagger}\varphi_0$ с тем же $\alpha_0$. Нормировано ли это состояние?

(d) Для $\psi_{x_0p_0}(x,t)=U_t\phi_{x_0p_0}$ докажите, что состояние остаётся когерентным и имеет собственное значение $\alpha_t=\alpha_0e^{-i\omega_0t}$.

(e) Найдите $\langle x\rangle,\langle p\rangle$ в момент $t$. Как меняются $\Delta x,\Delta p$ и распределение вероятности $P(x,t)$? Подсказка: новых вычислений не требуется.

(f) Приготовьте $\varphi_{\alpha_0}$ и сразу измените потенциал, увеличив частоту до $\omega=s\omega_0$, $s>1$. Операторы нового осциллятора обозначим $a_s,a_s^\dagger$. Прежнее состояние уже не обязано быть их когерентным состоянием, но остаётся собственным состоянием линейной комбинации

$$b_0=\mu_0a_s+\nu_0a_s^\dagger$$

с собственным значением $\alpha_0$. Найдите $\mu_0,\nu_0$ и проверьте $|\mu_0|^2-|\nu_0|^2=1$.

Пояснение источника: сжатыми называют состояния $\Phi_\eta$, удовлетворяющие $b\Phi_\eta=\eta\Phi_\eta$ для $b=\mu a+\nu a^\dagger$, где $|\mu|^2-|\nu|^2=1$ и потому $[b,b^\dagger]=1$.

(g) Для эволюции в новом потенциале $U_t^s$ докажите:

$$b_tU_t^s\varphi_{\alpha_0}=\alpha_0U_t^s\varphi_{\alpha_0},\qquad b_t=\mu_ta_s+\nu_ta_s^\dagger.$$

Как зависят от времени $\mu_t,\nu_t$?

(h) Найдите $\langle x\rangle,\langle p\rangle$ и ширины $\Delta x,\Delta p$ в состоянии $U_t^s\varphi_{\alpha_0}$. Что сделало сжатие с ширинами и как они меняются со временем? Нарисуйте траекторию средних координаты и импульса. В каждый момент отметьте около них эллипс, определённый ширинами, и покажите эффект сжатия.

Замечание источника: сжатые состояния осциллятора применяются в атомной физике и при регистрации гравитационных волн; в этом контексте автор упоминает исследовательницу MIT Нергис Мавалвалу.

Определения вместо отсылок: $T_L=e^{-iL\hat p/\hbar}$, $B_q=e^{iq\hat x/\hbar}$, $U_t=e^{-i\hat Ht/\hbar}$ и $U_t^s=e^{-i\hat H_st/\hbar}$, где $\hat H_s=\hat p^2/(2m)+m\omega^2\hat x^2/2$. Здесь $q$ — величина сдвига импульса, а не волновое число. В(g) $a_s$ явно обозначает новый осциллятор. В(d) используется исходная частота $\omega_0$.

Обозначения осциллятора вместо отсылок к другим страницам: $\beta=\sqrt{\hbar/(m\omega_0)}$ — масштаб длины, $\hat p=-i\hbar\partial_x$, а операторы понижения и повышения заданы как

$$\hat a=\frac1{\sqrt2}\left(\frac{\hat x}\beta+\frac{i\beta\hat p}\hbar\right),\qquad [\hat a,\hat a^\dagger]=1.$$

Оператор числа возбуждений и гамильтониан:

$$\hat N=\hat a^\dagger\hat a,\qquad \hat H=\hbar\omega_0(\hat N+1/2).$$

Нормированное основное состояние удовлетворяет $\hat a\phi_0=0$, а ортонормированные состояния энергии имеют вид

$$\phi_n=\frac{(\hat a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}\phi_0,\qquad E_n=\hbar\omega_0(n+1/2),\quad n=0,1,\ldots.$$