Первый экзамен: волны, измерения и осциллятор
Ответьте на все пункты.
(a) $\psi_1,\psi_2$ — собственные функции импульса с разными собственными значениями $p_1\ne p_2$. Является ли $\psi=\psi_1+\psi_2$ также собственной функцией импульса? Варианты: «Да»; «Нет»; «Зависит от обстоятельств».
(b) Частица массы $m$ и заряда $q$ ускоряется разностью потенциалов $V$ до нерелятивистской скорости. Какова её длина волны де Бройля? Варианты:
$$\frac m{\sqrt{2hqV}};$$
$$\frac{qV}{\sqrt{2mh}};$$
$$\frac h{\sqrt{2mqV}};$$
$$\frac m{h\sqrt{2qV}};$$
«Другое выражение».
(c) На первом рисунке показана интерференционная картина от двух щелей и отмечен один из минимумов. Эта точка дальше от нижней щели, чем от верхней. Какова разность расстояний? Варианты: $0.5\lambda$; $1.5\lambda$; $2\lambda$; $2.5\lambda$; $3\lambda$.
(d) Существует ли состояние частицы массы $m$, в котором координату $x$ и импульс $p_x$ можно одновременно предсказать со стопроцентной уверенностью? Варианты: «Да, любое состояние»; «Да, но не любое»; «Нет такого состояния»; «Да, но только у свободной частицы»; «Да, но только в бесконечной яме».
(e) Нарисуйте качественно волновые функции основного и шестого возбуждённого состояний для потенциала на втором рисунке. Отметьте существенные особенности. Горизонтальные линии задают соответствующие энергии. В исходном рисунке верхняя линия подписана $E_{12}$, хотя текст требует шестое возбуждённое состояние; при выполнении этого пункта следуйте тексту и считайте верхнюю линию $E_6$. Сам исходный рисунок сохранён.
(f) В момент $t=0$ частица в бесконечной яме шириной $L$ находится в суперпозиции первого и пятого возбуждённых состояний:
$$\psi_s(x,0)=A\left[3\phi_1(x)-2i\phi_5(x)\right].$$
Функции $\phi_n$ нормированы и имеют энергии $E_n$. Какое значение $A$ правильно нормирует состояние? Варианты: $1/\sqrt5$; $i/5$; $-i/\sqrt{13}$; $1/13$; «Ни одно из перечисленных».
(g) Для $\psi_s$ найдите вероятность получить при измерении в момент $t=0$ энергию $E_6$. Варианты: $0$; $3/5$; $9/13$; $9/25$; $6/13$.
(h) Для $\psi_s$ найдите плотность вероятности обнаружить частицу в середине ямы в момент $t=0$. Варианты: $0$; $3/5$; $9/13$; $9/25$; «Нельзя определить».
(i) В момент $t=0$ измерили энергию состояния $\psi_s$ и получили наибольшее возможное значение. Каково состояние сразу после измерения?
(j) Начав с $\psi_s$, сначала измерили положение частицы, а сразу после этого — энергию. Какие значения энергии можно получить?
(k) В параллельной вселенной с теми же законами физики ваш двойник сдаёт такой же экзамен. Он утверждает, что
$$\psi(x,t)=A\left[3\phi_1(x)-2i\phi_5(x)\right]e^{iEt}.$$
Прав ли он? Ответьте «Да» или «Нет». Если «Да», напишите неверную волновую функцию; если «Нет» — правильную.
(l) Используя правильную функцию, выразите среднюю энергию $\langle\hat E\rangle_t$ через $\langle\hat E\rangle_0$. Варианты:
$$\langle\hat E\rangle_0e^{-i\omega_1t};\quad\langle\hat E\rangle_0;$$
$$\langle\hat E\rangle_0\cos[(\omega_7-\omega_1)t];\quad E_1;$$
«Ни одно из перечисленных».
(m) Пусть $\phi_n$ — нормированное $n$-е состояние энергии осциллятора, $\psi=\hat a\hat a^\dagger\phi_n$. Чему равно $\psi$? Варианты: $\phi_n$; $n\phi_{n-1}$; $(n+1)\phi_n$; $n\phi_{n+1}$; «Ни одно из перечисленных».
(n) Какое свойство спектра осциллятора следует из $[\hat E,\hat a^\dagger]=\hbar\omega\hat a^\dagger$? Ответьте коротким предложением, без вычислений.
(o) Осциллятор в момент $t=0$ находится в состоянии $\psi(x,0)=\phi_2$. Зависит ли $P(x,t)$ от времени? Если «Да», приведите другое состояние с постоянной плотностью; если «Нет» — состояние с меняющейся плотностью.
(p) С какой частотой колеблется плотность вероятности в вашем примере из(o)? Постройте другую волновую функцию, у которой плотность колеблется с удвоенной частотой.
(q) С помощью операторного метода выведите первую возбуждённую функцию осциллятора $\phi_1$ из основного состояния $\phi_0$.
Данные экзаменационной памятки для самостоятельного чтения: у бесконечной ямы$0<x<L$ нумерация начинается с$n=0$,
$$\phi_n(x)=\sqrt{\frac2L}\sin\frac{(n+1)\pi x}L,\qquad E_n=\frac{\hbar^2(n+1)^2\pi^2}{2mL^2}.$$
Для осциллятора$\beta^2=\hbar/(m\omega)$,
$$a=\frac1{\sqrt2}\left(\frac x\beta+\frac{i\beta p}\hbar\right),\qquad [a,a^\dagger]=1,$$
$$a^\dagger=\frac1{\sqrt2}\left(\frac x\beta-\frac{i\beta p}\hbar\right),\qquad p=-i\hbar\partial_x,$$
$$\phi_0(x)=(\pi\beta^2)^{-1/4}e^{-x^2/(2\beta^2)}.$$
