Второй экзамен: операторы и момент импульса

(a) Вычислите четыре коммутатора: $[z,p_z]$, $[z,L_z]$, $[x,p_z]$, $[x,L_z]$.

(b) Пусть $A^\dagger=A$, $B^\dagger=B$. Найдите эрмитово сопряжённые операторы для $iA$, $AB$, $AB+BA$, $AB-BA$.

(c) При тех же условиях выберите все унитарные операторы из списка: $e^{iA}$; $e^{AB}$; $e^{AB+BA}$; $e^{AB-BA}$; «Ни один».

(d) Квантовые единороги описываются операторами цвета $C$, счастья $H$ и положения $L$. Предположена связь $[C,H]=\hbar L$. Профессор Эванс измерил цвет и со стопроцентной уверенностью получил «фиолетовый». Может ли он одновременно определить счастье со стопроцентной уверенностью? Выберите и поясните: «Всегда, потому что…»; «Иногда, если…»; «Никогда, потому что…».

(e) Затем коллаборация OPERA сообщила об измерении совершенно счастливого единорога. Так как $C,H$ описывают измеренные наблюдаемые, эти операторы должны быть эрмитовыми. Эрмитов ли $L$? Объясните. Что следует для его собственных значений?

(f) Дано $Y_{7,-7}=C(\sin\theta)^7e^{-7i\phi}$, где $C$ — постоянная. Найдите $Y_{7,-6}$ с точностью до общего нормировочного множителя.

(g) Частица на сфере находится в состоянии

$$\psi(\theta,\phi)=i\sqrt{\frac3{4\pi}}\sin\theta\sin3\phi.$$

Какие значения $L_z$ можно получить при измерении и с какими вероятностями?

(h) Предложите простой одномерный потенциал для частицы массы $m$, у которого три нижних уровня имеют энергии $1$, $3$, $5\,\text{мэВ}$. Укажите значения всех постоянных в выбранном потенциале.

(i) Найден оператор $J$, удовлетворяющий $[\hat E,J]=\epsilon J$, где $\hat E$ — оператор энергии, а $\epsilon$ — постоянная с размерностью энергии. Что можно сказать о собственных значениях энергии?

Нужные обозначения памятки: $L_z=xp_y-yp_x$, $[x_i,p_j]=i\hbar\delta_{ij}$, $L_z=-i\hbar\partial_\phi$ и $L_+=\hbar e^{i\phi}(\partial_\theta+i\cot\theta\,\partial_\phi)$. В(h) можно использовать уровни осциллятора $E_n=\hbar\omega(n+1/2)$, $n=0,1,\ldots$; в памятке дано $\hbar\simeq6.6\times10^{-16}\,\text{эВ}\cdot\text{с}$.