Потенциал из матрицы рассеяния

Частицы массы $m$ с волновым числом $k$ и энергией $E=\hbar^2k^2/(2m)>0$ рассеиваются на неизвестном одномерном потенциале $V(x)$, стремящемся к нулю в обоих направлениях. Измерения хорошо описываются матрицей

$$S=\frac1D\begin{pmatrix}r_+(\eta)&\eta^2\\\eta^2&r_-(\eta)\end{pmatrix},$$

$$r_\pm(\eta)=2ig(g\pm i\eta)\sin\eta,$$

$$D=\eta^2+g^2(1-e^{2i\eta}),\qquad\eta=2kL.$$

Параметры $L,g$ подобраны по данным. В рассматриваемой модели они вещественны, $L>0$. Узнайте о потенциале как можно больше.

(a) Инвариантен ли $V(x)$ при отражении $x\mapsto-x$? Кратко объясните.

(b) Найдите вероятность прохождения слева направо $T_{LR}$ и справа налево $T_{RL}$. Можно использовать

$$|D|^2=\eta^4+4g^2(g^2+\eta^2)\sin^2\eta.$$

(c) Есть ли резонансы? Если да, перечислите соответствующие $\eta$; если нет, объясните.

(d) Как ведёт себя $T_{LR}$ при малой и большой энергии? Если предел нулевой, найдите ведущий член.

(e) Нарисуйте $T_{LR}(\eta)$ при характерном $g$, явно отметив особенности из(c,d).

(f) Если существуют связанные состояния $E<0$, по матрице рассеяния выведите уравнение $f(\beta)=g^2$, где $\beta=L\sqrt{-2mE}/\hbar$. Не пытайтесь решать его аналитически.

(g) Решите уравнение графически. Сколько связанных состояний поддерживает потенциал? Зависит ли их число от $g$?

(h) Перечислите установленные свойства и предложите потенциал $V(x)$, который мог бы давать эту матрицу.

Определение из памятки для самостоятельного чтения: слева $\phi=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$, справа $\phi=Ce^{ikx}+De^{-ikx}$ и $(B,C)^{\mathsf T}=S(A,D)^{\mathsf T}$. Во всех пунктах исследуется данная матрица как модель рассеяния.