Итоговый экзамен: спектры, интерференция и статистика

На первом рисунке показан потенциал. Слева от изображённой области он равен нулю, справа остаётся равным $V_1$. Через $E_n,\phi_n$ обозначены собственные значения энергии и собственные функции.

(a) Выберите все утверждения, верные для всех собственных функций: «$\phi_n$ можно выбрать вещественными»; «$\phi_n$ можно выбрать чётными или нечётными».

(b) При $-V_0<E<0$ выберите все верные утверждения: «Энергии дискретны»; «Энергии вырождены»; «Собственные функции нормируемы».

(c) Повторите выбор тех же утверждений при $0<E<V_1$.

(d) Повторите его при $E>V_1$.

(e) На втором рисунке — интерференционные картины от $8$, $270$, $2000$ и $160000$ электронов с длиной волны де Бройля $\lambda$, прошедших через две щели за 20минут; это кадры показанного на занятии видео Hitachi. Рассмотрите панель(d). Максимум слева равноудалён от обеих щелей. Насколько расстояние от первой щели до указанного белой стрелкой минимума справа больше расстояния от второй? Варианты: $0.5\lambda$; $1.5\lambda$; $2\lambda$; $3.5\lambda$; $4\lambda$.

Подпись правообладателя сохранена на рисунке: Central Research Laboratory, Hitachi, Ltd.; используется с разрешения, как указано в источнике.

(f) На третьем рисунке якобы изображена вычисленная волновая функция пятого возбуждённого состояния в показанном одномерном потенциале. Стрелками и подписями укажите, почему этот график даже качественно неверен.

Частица массы $m$ свободно движется по окружности длиной $L$, координата вдоль неё $0\le x<L$.

(g) В учебнике утверждается, что волновая функция может удовлетворять условию $\psi(L)=-\psi(0)$. Возможно ли это? Обоснуйте.

(h) Используйте физическое граничное условие, чтобы найти собственные состояния энергии, энергии и кратности вырождения.

(i) Нарисуйте плотность вероятности для частицы, падающей справа на барьер четвёртого рисунка с энергией $0<E<V$. Подсказка: запишите общий вид функции в каждой области.

Две невзаимодействующие частицы находятся в одном потенциале $V(x)$ с невырожденными одночастичными состояниями $\phi_n(x)$ и энергиями $E_n$. Их общая функция — $\Psi(x_1,x_2)$.

(j) Приведите пример допустимого состояния одинаковых бозонов.

(k) Приведите пример допустимого состояния одинаковых фермионов.

(l) Приведите состояние, допустимое только для различимых частиц.

Уточнение пространственной модели для(j–l): спиновые переменные не заданы и не учитываются; для частиц со спином можно считать одинаковое фиксированное внутреннее состояние. В(g,h) отдельно различайте обычную скалярную частицу на окружности и возможное изменение граничного сектора.