Измерения в суперпозиции состояний водорода
В момент $t=0$ электрон атома водорода находится в состоянии
$$\begin{gathered}\psi(\mathbf r,0)=A\Bigl[3i\phi_{100}(\mathbf r)-4\phi_{211}(\mathbf r)\\-i\phi_{210}(\mathbf r)+\sqrt{10}\phi_{21,-1}(\mathbf r)\Bigr].\end{gathered}$$
Функции $\phi_{nlm}$ — правильно нормированные собственные состояния энергии; $n=1$ соответствует основному состоянию.
(a) Найдите $A$.
(b) Запишите $\psi(\mathbf r,t)$.
(c) Найдите $\langle E\rangle$ при $t=0$ в единицах $E_1$.
(d) Найдите $\langle L^2\rangle$ при $t=0$.
(e) Найдите $\langle L_z\rangle$ при $t=0$.
(f) Какие из средних $\langle E\rangle$, $\langle L_z\rangle$, $\langle L^2\rangle$, $\langle\mathbf r\rangle$ меняются со временем в данном состоянии?
(g) Найдите наименьшее $t_0>0$, при котором полная пространственная плотность вероятности возвращается к значению при $t=0$.
(h) При измерении $L_z$ в момент $t=0$ получено $\hbar$. Запишите правильно нормированную функцию $\psi(\mathbf r,t)$ после измерения.
Нужные обозначения кулоновской модели: $E_n=E_1/n^2$, $E_1<0$; $L^2\phi_{nlm}=\hbar^2l(l+1)\phi_{nlm}$, $L_z\phi_{nlm}=\hbar m\phi_{nlm}$. Разные тройки$(n,l,m)$ ортонормированы; каждая компонента эволюционирует с фазой$e^{-iE_nt/\hbar}$.