Связанные состояния и фаза отражения у стенки

На полуоси $x>0$ задан притягивающий потенциал

$$V(x)=\begin{cases}\infty,&x<0,\\-V_0,&0<x<L,\\0,&x>L,\end{cases}\qquad V_0>0.$$

Его безразмерная сила определена как

$$z_0=\frac{2mL^2V_0}{\hbar^2}.$$

Здесь$z_0$ — сама эта величина, а не её квадратный корень.

(a) Пусть имеется ровно два связанных состояния. Нарисуйте их волновые функции. Как выглядит более высокое состояние, когда его энергия очень близка к нулю? Нарисуйте этот случай отдельно.

(b) Второе связанное состояние находится у порога, бесконечно близко к нулю снизу. Каково пороговое значение$z_0$?

(c) Какой диапазон$z_0$ соответствует ровно двум связанным состояниям?

Теперь$E>0$ и волна падает справа. При$x>L$:

$$\psi(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx},\qquad k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}.$$

Нужно найти амплитудный коэффициент отражения$r=C/D$.

(d) Выберите вид$\psi$ при$0<x<L$ и по граничным условиям найдите$r$ через$k,L,k'$, где$k'^2=2m(E+V_0)/\hbar^2$. Представьте ответ в виде$r=-e^{(\cdots)}(1+\cdots)/(1-\cdots)$.

(e) Во что должен перейти$r$ при$V_0=0$? Проверьте этот предел в полученной формуле.