Три задачи об осцилляторе в одном номере

Частица в одномерном гармоническом осцилляторе имеет частоту$\omega$ и гамильтониан

$$\hat E=\frac{\hat p^2}{2M}+\frac12M\omega^2\hat x^2=\hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a+1/2).$$

Масса обозначена$M$, чтобы не путать её с номером уровня$m$ в(a); в исходнике оба обозначены одной буквой.

(a) При$t=0$ энергии$E_n,E_m$, где$n>m$, имеют одинаковые вероятности. Выберите любое состояние$\psi(t)$ с этим свойством и найдите$v(t)=d\langle x\rangle/dt$. Как результат зависит от$m,n$? Явный вид функций$\phi_n(x)$ не нужен.

(b) По свойствам осциллятора найдите разрешённые энергии в потенциале половинного осциллятора

$$V(x)=\begin{cases}\frac12\mu\omega^2x^2,&x>0,\\\infty,&x<0.\end{cases}$$

Объясните ответ; больших вычислений не требуется.

(c) У нового осциллятора$\hat E_F=\hbar\omega\alpha^\dagger\alpha$, причём

$$\alpha\alpha^\dagger+\alpha^\dagger\alpha=1,\qquad(\alpha^\dagger)^2=\alpha^2=0.$$

(i) Докажите$\hat E_F^2=\hbar\omega\hat E_F$. Какие собственные значения энергии возможны?

(ii) Докажите существование состояния, уничтожаемого$\alpha$, и назовите его$\phi_0$.

(iii) Докажите$\alpha^\dagger\phi_0\ne0$ и обозначьте$\phi_1=\alpha^\dagger\phi_0$.

(iv) Докажите$\alpha\phi_1=\phi_0$ и$\alpha^\dagger\phi_1=0$.

(v) Проверьте, что$\phi_0,\phi_1$ — собственные состояния$\hat E_F$, и найдите их энергии.

Обозначения памятки: $E_j=\hbar\omega(j+1/2)$, $\beta=\sqrt{\hbar/(M\omega)}$, $x=\beta(a+a^\dagger)/\sqrt2$, $a\phi_j=\sqrt j\phi_{j-1}$, $a^\dagger\phi_j=\sqrt{j+1}\phi_{j+1}$.