Контактное взаимодействие фермионов на кольце

Две неразличимые частицы со спином $1/2$ движутся по окружности радиуса $R$ и взаимодействуют лишь при очень малой длине дуги $l=R(\varphi_1-\varphi_2)\equiv R\varphi$ между ними. Поэтому потенциал можно приближённо представить дельта-функцией угла. Найдите основное состояние и его энергию для:

(i) не зависящего от спина отталкивания $U=W\delta_{2\pi}(\varphi)$;

(ii) спинового взаимодействия $U=-W\mathbf s_1\cdot\mathbf s_2\,\delta_{2\pi}(\varphi)$.

В обоих случаях $W>0$. Исследуйте пределы $W\to0$ и $W\to\infty$.

Масса каждой частицы равна $m$. Здесь $\delta_{2\pi}$ — периодическая дельта-функция, нормированная по углу: её интеграл по периоду равен единице. Коэффициент $W$ в каждом пункте имеет размерность, соответствующую записанному потенциалу; это дельта-функция угла, а не длины дуги.