Бозонное представление углового момента

Вычислите коммутаторы операторов
$$\hat\sigma_+=\hat a_1^\dagger\hat a_2,\qquad \hat\sigma_-=\hat a_2^\dagger\hat a_1,$$
$$\hat\sigma_z=\frac12(\hat a_1^\dagger\hat a_1-\hat a_2^\dagger\hat a_2),$$
где $\hat a_j^\dagger$ и $\hat a_j$ создают и уничтожают бозон в одночастичном состоянии $j=1,2$.