Уравнения движения в моделях Хаббарда

Для каждого из следующих гамильтонианов выведите уравнения Гейзенберга для операторов создания и уничтожения частиц.

Для двух слабо связанных ям используются бозонная и фермионная модели
$$\hat H_B=\sum_{j=1}^2\left[\epsilon_j\hat n_j+\frac J2\hat n_j(\hat n_j-1)\right]+t(\hat a_1^\dagger\hat a_2+\hat a_2^\dagger\hat a_1),$$
$$\hat H_F=\sum_{j,\sigma}\epsilon_j\hat n_{j\sigma}+J\sum_{j=1}^2\hat n_{j\uparrow}\hat n_{j\downarrow}+t\sum_\sigma(\hat a_{1\sigma}^\dagger\hat a_{2\sigma}+\hat a_{2\sigma}^\dagger\hat a_{1\sigma}).$$
Для периодической одномерной цепочки в приближении сильной связи:
$$\hat H_B=\frac J2\sum_j\hat n_j(\hat n_j-1)+t\sum_j(\hat a_j^\dagger\hat a_{j+1}+\hat a_{j+1}^\dagger\hat a_j),$$
$$\hat H_F=J\sum_j\hat n_{j\uparrow}\hat n_{j\downarrow}+t\sum_{j,\sigma}(\hat a_{j\sigma}^\dagger\hat a_{j+1,\sigma}+\hat a_{j+1,\sigma}^\dagger\hat a_{j\sigma}).$$
Здесь $\hat n=\hat a^\dagger\hat a$, $\sigma=\uparrow,\downarrow$, $J$ — энергия взаимодействия пары в одной яме, $t$ — вещественный матричный элемент перехода. Это гамильтонианы предыдущей задачи; они приведены для самостоятельного чтения.