Уравнение непрерывности для поля Клейна — Гордона

Используя уравнение Клейна — Гордона
$$\left(\frac1{c^2}\partial_t^2-\nabla^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\Psi=0,$$
докажите уравнение непрерывности
$$\partial_t w+\nabla\cdot\mathbf j=0$$
для плотности и тока
$$w=\frac{i\hbar}{2mc^2}(\Psi^*\partial_t\Psi-\Psi\partial_t\Psi^*),$$
$$\mathbf j=\frac{i\hbar}{2m}(\Psi\nabla\Psi^*-\Psi^*\nabla\Psi).$$
Это полная запись (9.84), (1.52) и (9.89) лекций. Рассматривается свободное поле частицы массы $m$.