Кулоновский спектр уравнения Клейна — Гордона

Докажите формулу энергетических уровней водородоподобного атома или иона в бесспиновом релятивистском уравнении:
$$E=mc^2\left[1+\frac{(Z\alpha)^2}{\lambda^2}\right]^{-1/2},$$
$$\lambda=n-l-\frac12+\sqrt{(l+1/2)^2-(Z\alpha)^2},\qquad n=1,2,\ldots,\quad l=0,\ldots,n-1.$$
Здесь ядро неподвижно и имеет заряд $Ze$, частица — заряд $-e$ и массу $m$, $\alpha=e^2/(4\pi\epsilon_0\hbar c)$. Начните со стационарного релятивистского уравнения
$$\left(E+\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r}\right)^2\psi=(-\hbar^2c^2\nabla^2+m^2c^4)\psi.$$
Это явная запись формулы (9.91) лекций. Рассматривается обычная регулярная ветвь при $Z\alpha<l+1/2$.

Подсказка источника. Безразмерная кулоновская радиальная задача
$$\left[-\frac1{2\rho^2}\frac d{d\rho}\left(\rho^2\frac d{d\rho}\right)+\frac{\ell(\ell+1)}{2\rho^2}-\frac1\rho\right]R=\varepsilon R$$
имеет $\varepsilon=-1/[2(n_r+\ell+1)^2]$, $n_r=0,1,2,\ldots$, и при нецелом эффективном $\ell$ с тем же регулярным граничным условием.