Доказать равенство двух форм преобразования Фурье

Пусть $j_1\ldots j_n$ — двоичная запись числа $j$ со старшим разрядом первым. Покажите, что преобразование, построенное в предыдущем упражнении, совпадает с исходным определением квантового преобразования Фурье: докажите равенство состояний

$$\frac1{\sqrt{2^n}}\sum_{k=0}^{2^n-1}e^{2\pi i jk/2^n}|k\rangle$$

и

$$\bigotimes_{r=1}^{n}\frac{|0\rangle+e^{2\pi i0.j_{n-r+1}\ldots j_n}|1\rangle}{\sqrt2}.$$

Во втором выражении множители идут с дробями $0.j_n$, $0.j_{n-1}j_n$, …, $0.j_1\ldots j_n$. Дробь $0.j_a\ldots j_n$ означает обычную двоичную дробь.

Автор предлагает раскрыть скобки и сравнить результат с определением Фурье; в разборе он отдельно выполняет это упражнение для $n=2$, затем обобщает на произвольное $n$.