Спин и полный момент свободной частицы Дирака

Вычислите $[\hat S^2,\hat H_D]$ и $[\hat J^2,\hat H_D]$ и объясните результаты. Используйте
$$\Sigma_j=\begin{pmatrix}\sigma_j&0\\0&\sigma_j\end{pmatrix},\qquad S_j=\frac\hbar2\Sigma_j,\qquad\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S,\quad\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p.$$
Матрицы Паули удовлетворяют $\sigma_j^2=I_2$ и $[\sigma_i,\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k$.

Свободный гамильтониан Дирака:
$$\hat H_D=c\boldsymbol\alpha\cdot\hat{\mathbf p}+\beta mc^2,\qquad\hat{\mathbf p}=-i\hbar\nabla.$$
Он действует на четырёхкомпонентный спинор. Постоянные эрмитовы матрицы имеют блоки
$$\alpha_j=\begin{pmatrix}0&\sigma_j\\\sigma_j&0\end{pmatrix},\qquad\beta=\begin{pmatrix}I_2&0\\0&-I_2\end{pmatrix},$$
где $\sigma_j$ — матрицы Паули. Канонические соотношения: $[\hat r_i,\hat p_j]=i\hbar\delta_{ij}$, $[\hat p_i,\hat p_j]=0$.