Каждый ли базис коммутирующей наблюдаемой является общим

Вопрос из заметки Паоло Глориозо «Об общих собственных базисах коммутирующих операторов»:

«Даны два коммутирующих эрмитовых оператора $A$ и $B$. Является ли каждый собственный базис $A$ также собственным базисом $B$?»

Эрмитовость означает $\langle u|Av\rangle=\langle Au|v\rangle$. Собственный вектор ненулевой и удовлетворяет $Av=\lambda v$. Собственное значение невырождено, если его собственное подпространство одномерно; собственный базис состоит из собственных векторов и охватывает всё пространство. Он не обязан быть ортонормированным. Коммутирование означает $AB-BA=0$. Сначала рассматривается конечномерное пространство; физические примеры ниже можно рассматривать внутри конечномерных связанных энергетических подпространств атома водорода.

Полный контекст примеров заметки, необходимый для проверки ответа.

В стандартном ортонормированном базисе $e_1,e_2,e_3$ заданы

$$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&1&2i\\0&-2i&1\end{pmatrix}.$$

Автор сравнивает этот базис с $\{e_1,v_2,v_3\}$, где

$$v_2=(e_2+ie_3)/\sqrt2,\qquad v_3=(e_2-ie_3)/\sqrt2.$$

Физический пример — нерелятивистский кулоновский атом водорода без спиновых поправок. В ортонормированном базисе $|n,l,m\rangle$ диагональны энергия $H$, квадрат орбитального момента $L^2$ и его проекция $L_z$:

$$\begin{gathered}H|n,l,m\rangle=E_n|n,l,m\rangle,\\L^2|n,l,m\rangle=\hbar^2l(l+1)|n,l,m\rangle,\\L_z|n,l,m\rangle=\hbar m|n,l,m\rangle.\end{gathered}$$

Здесь $l=0,\ldots,n-1$, $m=-l,\ldots,l$, а $E_n$ зависит только от $n$. На с. 5 заметки предложена замена при каждом фиксированном $n,l$:

$$|n,l,s\rangle_{\rm cum}=\frac1{\sqrt{l+s+1}}\sum_{m=-l}^s|n,l,m\rangle,\quad s=-l,\ldots,l.$$

Другой выбор — общий ортонормированный базис $H,L^2,L_x$, обозначенный $|n,l,m_x\rangle$, с $L_x|n,l,m_x\rangle=\hbar m_x|n,l,m_x\rangle$. Для сопоставления матриц $L_z$ автор использует угловые сектора $l=0$ и $l=1$: матрицу $\hbar\operatorname{diag}(0,-1,0,1)$ в исходном базисе и недиагональный трёхмерный блок в базисе $L_x$. Эти четыре вектора можно конкретно взять при $n=2$; это не утверждение о первых четырёх различных энергиях водорода.

Рассмотрите основной вопрос вместе с обоими матричными и водородными примерами, различая существование хотя бы одного общего базиса и утверждение о каждом базисе. Самостоятельные данные для углового момента:

$$[L_z,L_x]=i\hbar L_y,\quad L_x=(L_++L_-)/2,$$

$$L_\pm|l,m\rangle=\hbar\sqrt{l(l+1)-m(m\pm1)}\,|l,m\pm1\rangle.$$

Редакторская отметка: в авторском ответе на с. 4 сказано «да», если оба спектра невырождены, и «нет во всех остальных случаях». Последняя часть слишком сильна. В разборе даётся точное условие и исправляются неточности про вещественный спектр, крайнее накопительное состояние и множитель $\hbar$ в коммутаторе. Исходная заметка и все её доказательства сохранены отдельно. Ссылки автора: R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics (1994); D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (2005).